Nacido en Martorell, comenzó trabajando en la pastelería de su familia, pero pronto descubrió su afición por el bel canto. Tomó algunas lecciones con el maestro Paredes y, poco después, un primo suyo lo presentó al industrial Ramon Batlló. Este, tras comprobar las aptitudes de Palet, se convirtió en su protector. Continuó sus estudios con Joan Goula y, a los 23 años, debutó en el Liceu de Barcelona con la ópera La Favorita, obteniendo un gran éxito.
A partir de ese momento, Josep Palet encadenó triunfos allá donde actuaba. En los años siguientes recorrió los teatros de Europa y América. Fue aclamado en escenarios como el Teatro Real de Madrid, donde cantó varias temporadas, en Lisboa y en Italia, donde visitó los principales centros operísticos. A partir de la década de 1910, Palet se instaló de forma definitiva en Milán con su esposa, la italiana Luisa Eringio, y sería en esta ciudad donde debutaría en el Teatro alla Scala en 1911. Este debut marcaría su consagración definitiva.
Desde Italia, emprendió giras hacia América: Estados Unidos, Canadá, Cuba, México, Chile, Argentina, Brasil, Venezuela... También actuó en Egipto, Holanda, Portugal, Hungría, Grecia y Suiza, brillando en todos estos escenarios. Sin embargo, Palet no olvidó Barcelona ni Martorell; en la Ciudad Condal ofreció varias actuaciones en el Teatro del Liceu, y en Martorell realizó conciertos memorables, siendo el primero en 1915, con motivo de unas fiestas benéficas.
En aquella ocasión, en el Hort dels Convents, rebautizado para el evento como Teatre Natura, se construyó un escenario con espectaculares decorados realizados expresamente por escenógrafos del Liceu. Así, los días 14 y 15 de agosto de ese año, coincidiendo también con la Fiesta Mayor de la villa, Palet interpretó las óperas Aïda de Verdi y la popular Marina de Vives. Otras actuaciones tuvieron lugar en el Círcol Republicà Federal, entre 1930 y 1932. A partir de 1936, Palet se retiró a la ciudad de Milán, donde alcanzó gran renombre. Falleció repentinamente mientras viajaba en tranvía, en 1946.
La clave del éxito de Palet residía en poseer una voz que modulaba a voluntad. Su dicción era excelente, tanto en los tonos altos y agudos como en los bajos y cadenciosos, lo que le otorgaba un estilo muy personal y una gran naturalidad interpretativa. Además, Palet poseía uno de los repertorios operísticos más extensos de la época; se decía que conocía más de noventa óperas. De hecho, triunfó en obras donde otros profesionales fracasaban, como Los hugonotes de Meyerbeer o Los maestros cantores de Wagner.
En 1946, Martorell le rindió un gran homenaje y lo proclamó “Hijo Predilecto de la Villa”. En este acto se colocó una placa conmemorativa en su casa natal, situada en la calle Santacana, número 18. El evento concluyó con la representación de la ópera Tosca en el café-teatro El Progrés.
El Ayuntamiento de Martorell conmemoró en 2017 el 140.º aniversario del nacimiento del tenor Palet, año en el que se fundó el Concurso Internacional de Canto Josep Palet, que se celebra anualmente.
